Question

18．如图，已知抛物线y=-x²+mx+m-4经过点A（5，-5），若抛物线顶点为P．
（1）求点P的坐标；
（2）在直线OA上方的抛物线上任取一点M，连接MO、MA，求△MOA的面积取得最大时的点M坐标；
（3）如图1，将原抛物线沿射线OP方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OP交于C、D两点．试问线段CD的长度是否为定值，若是请求出这个定值；若不是请说明理由．（提示：若点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则CD的长度d=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$）

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）先设出点M坐标，得出三角形MOA面积，进而确定出点M的坐标．
（3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与OP，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案．

解答 解：（1）依题意-5²+5m+m-4=-5，
∴m=4，
∴y=-x²+4x=-（x-2）²+4
∴顶点P（2，4）；
（2）如图1，

∵A（5，-5），
∴OA的解析式为y=-x，
设M（m，-m²+4m），（0＜m＜5）
∴N（m，-m），
∴MN=-m²+4m+m=-m²+5m，
∴S_△MOA=$\frac{1}{2}$MN•|x_A-x_O|=$\frac{1}{2}$•（-m²+5m）•5=-$\frac{5}{2}$（m²-5m）=-$\frac{5}{2}$（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{125}{8}$
∴当m=$\frac{5}{2}$时，△MOA的面积取得最大，此时的点M坐标（$\frac{5}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
（3）在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是为定值，
∵直线OP的解析式为y=2x，
∴可设新抛物线解析式为y=-（x-a）²+2a
联立抛物线与OP，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-a）^{2}+2a}\\{y=2x}\end{array}\right.$，
∴-（x-a）²-$\frac{3}{2}$a=-$\frac{3}{2}$x，
∴x₁=a，x₂=a-2，x₁-x₂=2；
y₁=2x₁=2a，y₂=2x₂=2（a-2），y₁-y₂=4；
∴CD的长度=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{5}$
∴在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是定值，定值为2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，确定出三角形MOA的面积是解题关键，又利用了解方程组得出P点坐标；利用勾股定理得出CD的．