Question

12．合作学习：如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=2，另两边与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象分别相交于点E，F，且DE=1，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G．回答下列问题：
①该反比例函数的解析式是什么？
②当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标是多少？
③阅读合作学习内容，请解答其中的问题；
小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能否全等？能否相似？”请回答小亮的问题，并说明理由．

Answer 1

分析 ①先确定出点E的坐标，用待定系数法求函数解析式；
②设出正方形的边长，由正方形的性质，表示出点F的坐标，利用点F在反比例函数图象上，即可；
③Ⅰ、假设两矩形全等，求出点F的坐标，判定点F是否在反比例函数图象上，点F在反比例函数图象上，能全等，不在反比例函数图象上，不能全等，即可；
Ⅱ、假设两矩形相似，利用相似得到的比例式求出点F的坐标即可．

解答 解：①由题意得E（1，2），
∵点E在反比例函数图象上，
∴k=1×2=2，
∴反比例函数的解析式$y=\frac{2}{x}$，
②设正方形AEGF的边长为a，
∴AE=AF=a，B（1+a，0），F（1+a，2-a），
∴F点代入反比例函数$y=\frac{2}{x}$得，（1+a）（2-a）=2，a=1或a=0（舍），
∴F（2，1）；
③Ⅰ、当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE不能全等．
假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE=OD=2，AF=DE=1，
则F点坐标为（3，1），
∴3×1≠2，
∴F点不在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
Ⅱ、当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能相似．
假设矩形AEGF与矩形DOHE相似，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{OD}{DE}=2$，
设AF=t，则AE=2t
∴OB=1+2t，BF=2-t
∴F（1+2t，2-t），
将F点坐标代入反比例函数y=$\frac{2}{x}$中，得（1+2t）（2-t）=2，
∴t=$\frac{3}{2}$，或t=0（舍），
∴F（4，$\frac{1}{2}$）．

点评 此题是相似三角形综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，正方形的性质，矩形的性质，相似矩形的性质，解本题的关键求出点F的坐标．