Question

11．如图，点P、Q分别为等边△ABC的边AB、BC上的点，且AP=BQ，若AQ与PC相
交于点M，则∠AMC的度数为120°．

Answer 1

分析 利用等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=∠B=60°，再证明△ABQ≌△CAP得到∠BAQ=∠ACP，则∠ACM+∠CAM=∠PAC=60°，然后根据三角形内角和计算∠AMC的度数．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°，
在△ABQ和△CAP中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠ABQ=∠CAP}\\{BQ=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠ACM+∠CAM=∠PAM+∠CAM=∠PAC=60°，
∴∠AMC=180°-60°=120°．
故答案为120．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了等边三角形的性质．