Question

如图，直线y=

1

2

x+b分别交x轴、y轴于点A、C，点P是直线AC与双曲线y=

k

x

在第一象限内的交点，PB⊥x轴，垂足为点B，且OB=2，PB=4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△APB的面积；
（3）求在第一象限内，当x取何值时一次函数的值小于反比例函数的值？

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）由OB，PB的长，及P在第一象限，确定出P的坐标，根据P为反比例函数与直线的交点，得到P在反比例函数图象上，故将P的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值；
（2）根据待定系数法求得直线AC的解析式，令y=0求出对应x的值，即为A的横坐标，确定出A的坐标，即可求得AB，然后根据三角形的面积公式求得即可．
（3）由一次函数与反比例函数的交点P的横坐标为2，根据图象找出一次函数在反比例函数上方时x的范围即可．

解答：解：（1）∵OB=2，PB=4，且P在第一象限，
∴P（2，4），
由P在反比例函数y=

k

x

上，
故将x=2，y=4代入反比例函数解析式得：4=

k

2

，即k=8；
（2）∵P（2，4）在直线y=

1

2

x+b上，
∴4=

1

2

×2+b，解得b=3，
∴直线y=

1

2

x+3，
令y=0，解得：x=-6；
∴A（-6，0），
∴OA=6，
∴AB=8，
∴S_△APB=

1

2

AB•PB=

1

2

×8×4=16．
（3）由图象及P的横坐标为2，可知：
在第一象限内，一次函数的值大于反比例函数的值时x的范围为x＞2．

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点，利用待定系数法确定函数解析式，以及一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合的思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，做第三问时注意灵活运用．