Question

8．如图，矩形OABC放在以O为原点的平面直角坐标系中，A（3，0），C（0，2），点E是AB的中点，点F在BC边上，且CF=1．
（1）点E的坐标为（3，1），点F的坐标为（1，2）；
（2）点E关于x轴的对称点为E′，点F关于y轴的对称点为F′，
①点E′的坐标为（3，-1），点F′的坐标为（-1，2）；
②求直线E′F′的解析式；
（3）若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，当四边形MNFE的周长最小时，求出点M，N的坐标，并求出周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出OA，OC，再根据矩形的性质得出BA=2，即可得出结论；
（2）①利用对称的性质即可得出结论；
②利用待定系数法即可求出直线E'F'解析式；
（3）先判断出点M，N是直线E'F'和x，y轴的交点，再利用两点间的距离公式即可得出结论．

解答 解：（1）∵A（3，0），B（0，2），
∴OA=3，OC=2，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，OC∥AB，BC=OA=3，AB=OC=2，
∴C（3，2），
∵点E是AB的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴E（3，1），
∵点F在BC上，且CF=1，
∴F（1，2），
故答案为：（3，1），（1，2），
（2）①由（1）知，E（3，1），F（1，2），
∵点E关于x轴的对称点为E′，点F关于y轴的对称点为F′，
∴E'（3，-1），F'（-1，2），
故答案为：（3，-1），F'（-1，2）；

②设直线E'F'的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-1}\\{-k+b=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线E'F'的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{4}$；

（3）如图，∵E（3，1），F（1，2），
∴EF=$\sqrt{5}$，
∵点E关于x轴的对称点为E′，点F关于y轴的对称点为F′，
∴连接E'F'和x轴交于M，和y轴交于N，此时四边形MNFE的周长最小，
∴NF=NF'，ME=ME'，
∵E'（3，-1），F'（-1，2），
∴E'F=$\sqrt{（3+1）^{2}+（-1-2）^{2}}$=5，
∴四边形MNFE的周长的最小值为NF+MN+ME+EF
=NF'+MN+ME'+EF=E'F'+EF=5+$\sqrt{5}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，对称的性质，待定系数法，两点间的距离公式，解（2）的关键是求出点E'，F'的坐标，解（3）的关键是判断出点M，N的位置，是一道常规题．