Question

19．如图所示的益智玩具由一块主板AB和一个支撑架CD组成，其侧面示意图如图1所示，测得AB⊥BD，AB=40cm，CD=25cm，链接点C为AB的中点，现为了方便儿童操作，须调整玩具的摆放，将AB绕点B顺时针旋转，CD绕点C旋转同时点D做水平滑动，如图2，当点C₁到BD的距离为10cm时停止，求点D滑动的距离和点A经过的路径的长．（结果保留整数，参考数据：$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{21}$≈4.583，π，3.141，可使用科学计算器）

Answer 1

分析 首先利用勾股定理得出BD的长，再过点C₁作C₁H⊥BD₁于点H，进而得出BH=10$\sqrt{3}$cm，求出∠ABC₁=60°，利用弧长公式求出点A经过的路径的长，再求出D₁C₁=25cm，C₁H=10cm，进而得出D₁H、BD₁的长，即可得出答案．

解答 解：∵AB=40，点C是AB的中点，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=20cm，
∵AB⊥BD，
∴∠CBD=90°，
在Rt△BCD中，BC=20cm，DC=25cm，
∴BD=$\sqrt{C{D}^{2}-C{B}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-2{0}^{2}}$=15（cm），
过点C₁作C₁H⊥BD₁于点H，
则∠C₁HD=C₁HD₁=90°，
在Rt△BC₁H中，BC₁=20cm，C₁H=10cm，
∴∠C₁BH=30°，故BH=10$\sqrt{3}$cm，
则∠ABC₁=60°，
故点A经过的路径的长为：$\frac{60π×40}{180}$=$\frac{40π}{3}$≈42（m），
在Rt△D₁C₁H中，D₁C₁=25cm，C₁H=10cm，
∴D₁H=$\sqrt{{{C}_{1}D}_{1}^{2}-{C}_{1}{H}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-1{0}^{2}}$=5$\sqrt{21}$（cm），
∴BD₁=BH+HD₁=10$\sqrt{3}$+5$\sqrt{21}$≈17.32+22.915=40.235（cm），
∴点D滑动的距离为：BD₁-BD=40.235-15=25.235≈25（cm），
答：点D滑动的距离为25m，点A经过的路径的长为42m．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理、弧长公式的应用，正确应用勾股定理是解题关键．