题目内容

某计算装置有一个数据入口A和一个运算结果的出口B，将自然数中的各数依次输入A口，从B口分别得到输出的数．结果表明：
①从A口输入n=1时，从B口得到a₁= $数学公式$ ；
②当n≥2时，从A口输入n，从B口得到的结果是将前一结果a_n-1先乘以自然数中和第n-1个奇数再除以自然数中和第n+1个奇数，
试问：（1）从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？
（2）从A口输入2008时，从B口得到什么数？
（3）求：a₁+a₂+a₃…+a₂₀₀₈的值．

解：（1）由题意知：a₂=a₁× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
a₃= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）观察（1）的规律可得：a₂₀₀₈= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（3）找出一般形式为：a_n= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），
∴a₁+a₂+a₃+a₂₀₀₈= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据题意可得答案；
（2）通过观察（1）中的规律即可得出答案；
（3）找出一般形式a_n= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）即可求解．
点评：本题考查了整数的奇偶性问题及数字的规律变化，难度适中，关键是找出一般形式a_n= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）．