我们知道.等腰三角形的两个底角相等.即在△ABC中.∵AB=AC.∴∠B=∠C．请根据上述内容探究下面问题:(1)如图②.已知在△ABC和△ADE中.AB=AC.AD=AE.∠CAB=∠DAE=90°.动点D在BC边上运动.试证明CD=BE且CD⊥BE．的条件下.若动点D在CB的延长线上运动.则CD与BE垂直吗?请在横线上直接写出结论.不必给出证明.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．我们知道，等腰三角形的两个底角相等，即在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C（如图①所示）．请根据上述内容探究下面问题：
（1）如图②，已知在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠DAE=90°，动点D在BC边上运动，试证明CD=BE且CD⊥BE．
（2）如图③，在（1）的条件下，若动点D在CB的延长线上运动，则CD与BE垂直吗？请在横线上直接写出结论，不必给出证明，答：CD⊥BE．
（3）如图④，已知在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠DAE=90°，动点D在△ABC内运动，试问CD⊥BE还成立吗？若成立，请给出证明过程．
（4）如图④，已知在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠DAE=x°（90＜x＜180），点D在△
ABC内，请在横线上直接写出直线CD与直线BE相交所成的锐角（用x的代数式表示）．
答：直线CD与直线BE相交所成的锐角180°-x°．

分析（1）由条件易证△CAD≌△BAE，从而有CD=BE，∠ACD=∠ABE，根据三角形外角性质和内角和定理就可求出∠CBE=90°，从而得到CD⊥BE．
（2）借鉴（1）的证明思路就可得到CD⊥BE仍然成立．
（3）延长CD交BE于点F，交AB于O，如图④，借鉴（2）的证明思路即可解决问题．
（4）延长CD交BE于点F，交AB于O，如图⑤，借鉴（3）的证明思路即可解决问题．

解答解：（1）如图②，

∵∠CAB=∠DAE=90°，
∴∠CAD=∠BAE．
在△CAD和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAD=∠BAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$．
∴△CAD≌△BAE（SAS）．
∴CD=BE，∠ACD=∠ABE．
∴∠CBE=∠CBA+∠ABE=∠CBA+∠ACD=180°-∠CAB
∵∠CAB=90°，
∴∠CBE=180°-90°=90°即CD⊥BE．

（2）当点D在CB的延长线上时，如图③．

同理可得：∠CBE=90°即CD⊥BE．
故答案为：CD⊥BE．

（3）当点D在△ABC内时，CD⊥BE仍然成立．
证明：如图④，

延长CD交BE于点F，交AB于O．
同理可得：∠ACD=∠ABE．
∵∠C0B=∠ACO+∠CAO=∠ABE+∠OFB，
∴∠CAO=∠OFB．
∵∠CAO=90°，
∴∠OFB=90°，即CD⊥BE．

（4）延长CD交BE于点F，交AB于O，如图⑤．

由（3）得∠CAO=∠OFB．
∵∠CAB=x°，
∴∠OFB=x°．
∴∠CFE=180°-x°．
∵90°＜x°＜180°，
∴0＜180°-x°＜90°．
∴直线CD与直线BE相交所成的锐角为180°-x°．
故答案为：180°-x°．

点评本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理等知识，还考查了运用已有解题经验解决问题的能力．若顶角相等的两个等腰三角形顶角顶点重合，则必然会出现全等三角形，且其中一个三角形可以由另一个三角形绕着顶角顶点旋转所得，我们把这种基本模型称为旋转全等型，熟悉基本模型可以提高解题速度，应重视对基本模型的积累．

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