Question

数2⁷²-1能被500与600之间的若干整数整除，请找出三个这样的整数，它们是

511，513，545

．

Answer 1

分析：将数2⁷²-1进行因式分解，得到2⁷²-1=（2³⁶+1）（2³⁶-1），再进一步分解（2³⁶-1），可得出511与513能整除，再将2¹⁸+1运用完全平方公式因式分解，得出2⁷²-1能被500与600之间整除的所有整数．

解答：解：2⁷²-1=（2³⁶+1）（2³⁶-1）
=（2³⁶+1）（2¹⁸+1）（2¹⁸-1）=（2³⁶+1）（2¹⁸+1）（2 ⁹+1）（2 ⁹-1），
∵2 ⁹+1=512+1=513，2 ⁹-1=513-1=511，
∴511，513都能整除2⁷²-1．
又2¹⁸+1=2¹⁸+2×2 ⁹×1+1
=（2 ⁹+1）²-2×2 ⁹，
=（2 ⁹+1）²-（2 ⁵）²，
=（2 ⁹+1-2 ⁵）（2 ⁹+1+2 ⁵），
=481×545，
∴545能整除2⁷²-1．
故答案为：511，513，545．

点评：此题主要考查了因式分解法将一个高次数据进行因式分解，这种思想经常用于解决类似问题．