Question

3．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，对称轴与抛物线相交于点M，与x轴相交于点N．点P是线段MN上的一动点，过点P作PE⊥CP交x轴于点E．
（1）直接写出抛物线的顶点M的坐标是（1，4）．
（2）当点E与点O（原点）重合时，求点P的坐标．
（3）点P从M运动到N的过程中，求动点E的运动的路径长．

Answer 1

分析 （1）将解析式配成顶点式即可．
（2）当点E与O重合时，设PN=m，过点C作CF⊥MN于F，由△ENP∽△PFC用相似比例建立方程解之即可．
（3）找到左右两个极端位置即可．P在M点时，E在右边最运处，这个时候求出EN为对称轴右边的路径长度；E点在左侧时，设EN=y，PN=x，由△ENP∽△PFC列出比例方程，得到y关于x的二次函数，配方求出最大值，再加上右边路径长度即为总路径长度．

解答 解：（1）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴M（1，4）；
（2）当点E与O重合时，EN=1，设PN=m，
过点C作CF⊥MN，垂足为F，如图1，

∵∠EPC=90°，
∴∠EPN+∠NEP=∠EPN+∠CPF=90°，
∴∠CPF=∠PEN，
∴△ENP∽△PFC
∴$\frac{CF}{PF}=\frac{PN}{EN}$，即：$\frac{1}{3-m}=\frac{m}{1}$，
解得：m=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$
∴点P的坐标为：（1，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）或（1，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）
（3）①当点P与M重合时，如图2，

由△ENM∽△MFC可知，$\frac{EN}{MN}=\frac{MF}{CF}$，
∴EN=4，
即当点P从M运动到F时，点E运动的路径长EN为4；
②当点P从F运动到N时，点E从点N向左运动到某最远点后，回到点N结束．如图3，

设EN=y，PN=x，
由△ENP∽△PFC可知，$\frac{CF}{PF}=\frac{PN}{EN}$，即：$\frac{1}{3-x}=\frac{x}{y}$，
∴$y=-{x}^{2}+3x=-（x-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$，
当x=$\frac{3}{2}$时，y有最大值，为$\frac{9}{4}$；
∴E的运动的路径长为：$4+2×\frac{9}{4}=\frac{17}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的顶点式，相似三角形的判定与性质，极端原理，配方法求二次函数最值等重要知识点，有一定综合性，第三问稍有一点难度．纵观本题，构造相似，利用线段成比例建立方程是求解关键．