Question

3．已知x₁、x₂是关于x的方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若（x₁-1）（x₂-1）=7，求实数m的值；
（3）已知等腰△ABC的一边长为7，若x₁、x₂恰好是△ABC另外两边长，求这个三角形的周长．

Answer 1

分析 （1）由根的判别式即可得；
（2）由韦达定理得x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=m²+5，代入到（x₁-1）（x₂-1）=7，即x₁x₂-（x₁+x₂）=6，解关于m的方程即可；
（3）由题意得出方程的另一根为7，将x=7代入求出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．

解答 解：（1）由题意得△=4（m+1）²-4（m²+5）＞0，
解得：m＞2；

（2）x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=m²+5，
由（x₁-1）（x₂-1）=7得：x₁x₂-（x₁+x₂）=6，即m²+5-2（m+1）=6，
解得：m=3或m=-1，
由（1）知m＞2，
∴m=3；

（3）由题意，∵x₁≠x₂时，
∴只能取x₁=7或x₂=7，即7是方程的一个根，
将x=7代入得：49-14（m+1）+m²+5=0，
解得：m=4或m=10，
当m=4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；
当m=10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；
故三角形的周长为17．

点评 本题主要考查判别式、韦达定理、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．