Question

17．如图，在不等边△ABC中，PM⊥AB，垂足为M，PN⊥AC，垂足为N，且PM=PN，点Q在AC上，PQ=QA，下列结论：①AN=AM，②QP∥AM，③AP平分∠BAC，④PA平分∠MPN，⑤△BMP≌△CNP，其中正确的个数有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 利用“HL”证明△APM和△APN全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=AM；全等三角形对应角相等可得∠PAM=∠PAN，再根据等边对等角可得∠PAN=∠APQ，从而得到∠PAM=∠APQ，然后根据内错角相等，两直线平行可得QP∥AM；根据角平分线的性质判定定理判断AP平分∠BAC，同时判断出PA平分∠MPN，欲证△BMP和△CNP全等，须得BP=PC，而此条件无法得到，所以，两三角形不一定全等．

解答 解：∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴∠AMP=∠ANP=90°，
在Rt△APM和Rt△APN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴Rt△APM≌Rt△APN（HL），
∴AN=AM，故①正确；
∠PAM=∠PAN，
∵PQ=QA，
∴∠PAN=∠APQ，
∴∠PAM=∠APQ，
∴QP∥AM，故②正确；
∵PM=PN，PM⊥AB，PN⊥AC，
∴AP平分∠BAC，故③正确；
∵AM=AN，PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MPN，故④正确；
假设△BMP≌△CNP，
则BP=PC，
此条件无法从题目得到，
所以，假设不成立，故⑤错误．
综上所述，正确的是①②③④．
故选C．

点评 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边对等角的性质，比较复杂，熟记性质并准确识图是解题的关键．