Question

8．如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向转转90°，得到点F，连接AF，则AF的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{13}$
• B． $\sqrt{3}+2$
• C． $\sqrt{5}+2$
• D． $2\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 先找出AF最大值时，点E的位置，再判断出AF最大时，点C在AF上，根据正方形的性质求出AC，从而得出AF的最大值．

解答 解：如图，

过点A作∠EAB=45°交⊙A于点E，此时旋转后AF最大，
过点E作EG⊥AD交DA延长线于G，
在Rt△AEG中，AE=1，∠GAE=∠EAB=45°，
∴EG=AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠ADC=∠EDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF，
∴CF=AE=1，
∠DCF=∠DAE=∠BAD+∠EAB=90°+45°=135°，
∴点C在线段AF上，
∴AF=AC+CF，
∵AC是边长为2的正方形的对角线，
∴AC=2$\sqrt{2}$，
∴AF=2$\sqrt{2}$+1，
即：AF的最大值是2$\sqrt{2}$+1，
故选D．

点评 此题是正方形的性质，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是AF最大时，AF过点C．难点是找出AF最大时，点E的位置，是一道中等难度的试题．