题目内容
如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC=12cm，BD=16cm．动点P在线段AB上，由B向A运动，速度为1cm/s，动点Q在线段OD上，由D向O运动，速度为1cm/s．过点Q作直线EF⊥BD交AD于E，交CD于F，连接PF，设运动时间为t（0＜t＜8）．问：（1）何时四边形APFD为平行四边形？求出相应t的值；
（2）设四边形APFE面积为ycm2，求y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出相应t的值，并求出，P、E两点间的距离；若不存在，说明理由．
考点：四边形综合题
专题：几何动点问题
分析：（1））由四边形ABCD是菱形，OA=
AC，OB=
BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理求出AB=10．再由△DFQ∽△DCO．得出
=
．求出DF．由AP=DF．求出t．
（2）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG=
AC•BD，求出CG．据S梯形APFD=
（AP+DF）•CG．S△EFD=
EF•QD．得出y与t之间的函数关系式；
（3）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG，求出CG，由S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| DF |
| DC |
| QD |
| OD |
（2）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG，求出CG，由S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=
AC=6，OB=OD=
BD=8．
在Rt△AOB中，AB=
=10．
∵EF⊥BD，
∴∠FQD=∠COD=90°．
又∵∠FDQ=∠CDO，
∴△DFQ∽△DCO．
∴
=
．
即
=
，
∴DF=
t．
∵四边形APFD是平行四边形，
∴AP=DF．
即10-t=
t，
解这个方程，得t=
．
∴当t=
s时，四边形APFD是平行四边形．
（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∵S菱形ABCD=AB•CG=
AC•BD，
即10•CG=
×12×16，
∴CG=
．
∴S梯形APFD=
（AP+DF）•CG
=
（10-t+
t）•
=
t+48．
∵△DFQ∽△DCO，
∴
=
．
即
=
=，
∴QF=
t．
同理，EQ=
t．
∴EF=QF+EQ=
t．
∴S△EFD=
EF•QD=
×
t×t=
t2．
∴y=（
t+48）-
t2=-
t2+
t+48．
（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
若S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，
则-
t2+
t+48=
×96，
即5t2-8t-48=0，
解这个方程，得t1=4，t2=-
（舍去）
过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
当t=4时，
∵△PBN∽△ABO，
∴
=
=
，
即
=
=
．
∴PN=
，BN=
．
∴EM=EQ-MQ=3-
=
．
PM=BD-BN-DQ=16-
-4=
．
在Rt△PME中，
PE=
=
（cm）．
∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
在Rt△AOB中，AB=
| 62+82 |
∵EF⊥BD，
∴∠FQD=∠COD=90°．
又∵∠FDQ=∠CDO，
∴△DFQ∽△DCO．
∴
| DF |
| DC |
| QD |
| OD |
即
| DF |
| 10 |
| t |
| 8 |
∴DF=
| 5 |
| 4 |
∵四边形APFD是平行四边形，
∴AP=DF．
即10-t=
| 5 |
| 4 |
解这个方程，得t=
| 40 |
| 9 |
∴当t=
| 40 |
| 9 |
（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∵S菱形ABCD=AB•CG=
| 1 |
| 2 |
即10•CG=
| 1 |
| 2 |
∴CG=
| 48 |
| 5 |
∴S梯形APFD=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 48 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
∵△DFQ∽△DCO，
∴
| QD |
| OD |
| QF |
| OC |
即
| t |
| 8 |
| QF |
| 6 |
∴QF=
| 3 |
| 4 |
同理，EQ=
| 3 |
| 4 |
∴EF=QF+EQ=
| 3 |
| 2 |
∴S△EFD=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
∴y=（
| 6 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 6 |
| 5 |
（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
若S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，
则-
| 3 |
| 4 |
| 6 |
| 5 |
| 17 |
| 40 |
即5t2-8t-48=0，
解这个方程，得t1=4，t2=-
| 12 |
| 5 |
过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
当t=4时，
∵△PBN∽△ABO，
∴
| PN |
| AO |
| PB |
| AB |
| BN |
| BO |
即
| PN |
| 6 |
| 4 |
| 10 |
| BN |
| 8 |
∴PN=
| 12 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
∴EM=EQ-MQ=3-
| 12 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
PM=BD-BN-DQ=16-
| 16 |
| 5 |
| 44 |
| 5 |
在Rt△PME中，
PE=
| PM2+EN2 |
| ||
| 5 |
点评：本题主要考查了四边形的综合知识，用到的知识点有勾股定理、菱形的性质、梯形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及一元二次方程得解、平行四边形的性质等性质，题目的综合性较强，对学生的综合解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．
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如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线l分别与x轴、y轴相交于B、A两点，若OA=6，∠ABO=30°，点C在射线BA上以3厘米/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1厘米的⊙C．点P以2厘米/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l∥x轴．若点C与点P同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，则在整个运动过程中直线l与⊙C相切时t的值为