Question

19．图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．

（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，当α=45°时，BA′与半圆O相切．当α=30°时，点O′落在$\widehat{PB}$上．

Answer 1

分析 （1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=$\frac{1}{2}$A′B=$\frac{1}{2}$AB=OA，可判定A′C与半圆相切；
（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在$\widehat{PB}$上时，连接AO′，则可知BO′=$\frac{1}{2}$AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°．

解答 解：（1）相切，理由如下：
如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，

∵α=15°，A′C∥AB，
∴∠ABA′=∠CA′B=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$A′E，OE=$\frac{1}{2}$BE，
∴DO=DE+OE=$\frac{1}{2}$（A′E+BE）=$\frac{1}{2}$AB=OA，
∴A′C与半圆O相切；
（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，
∴∠OBA′=2α=90°，
∴α=45°，
当O′在$\widehat{PB}$上时，如图2，

连接AO′，则可知BO′=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠O′AB=30°，
∴∠ABO′=60°，
∴α=30°，
故答案为：45°；30°．

点评 本题主要考查切线的判定和性质及含特殊角的直角三角形的性质，掌握切线的判定和性质是解题的关键，注意切线的判定方法有两种，即①有切点时连接圆心和切点证明垂直，②无切点时作垂直证明圆心到直线的距离等于半径．