Question

如图1，一条抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，且当x=－1和x=3时，的值相等．直线与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M．

(1)求这条抛物线的表达式．

(2)动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为秒．

①若使△BPQ为直角三角形，请求出所有符合条件的值；

②求为何值时，四边形ACQ P的面积有最小值，最小值是多少？

(3)如图2，当动点P运动到OB的中点时，过点P作PD⊥轴，交抛物线于点D，连接OD，OM，MD得△ODM，将△OPD沿轴向左平移个单位长度（），将平移后的三角形与△ODM重叠部分的面积记为，求与的函数关系式．

 

Answer 1

 解：(1) ∵当和时，的值相等，∴抛物线的对称轴为直线，把和分别代入中，得顶点，另一个交点坐标为(6，6)， ····································································· 2分

则可设抛物线的表达式为，将(6，6)代入其中，解得，

∴抛物线的表达式为，即．··············································· 3分

 (2)如图1，当时， 解得 ．由题意知，A(2，0)，B(4，0)，

所以OA=2，OB=4；当时，，所以点C(0，－3)，OC=3，由勾股定理知BC=5，

OP=1×t=t，BQ=．···································································································· 4分

①∵∠PBQ是锐角，

∴有∠PQB=90º或∠BPQ=90º两种情况：

当∠PQB=90º时， 可得△PQB∽△COB，

∴，∴，

∴；······························································· 5分

当∠BPQ=90º时， 可得△BPQ∽△BOC，

 ∴，∴，

∴．····························································· 6分

由题意知，

∴当或时，以B，P，Q为顶点的三角形是直角三角形． ······································ 7分

②如图1，过点Q作QG⊥AB于G， ∴△BGQ∽△BOC，

∴，

∴，∴，····································································································· 8分

∴S_{四边形ACQP}=S_△ABC- S_△BPQ==

==．

∵＞0， ∴四边形ACQP的面积有最小值， 又∵满足，

∴当时，四边形ACQP的面积最小，最小值是． ····················································· 10分

(3)如图2，由OB=4得OP=2， 把代入中，得，所以D（2， －3），直线CD∥x轴，设直线OD的解析式为，则，所以，因为△P₁O₁D₁是由△POD 沿x轴向左平移m个单位得到的，

所以P₁（2－m，0），D₁(2－m， －3)，E（2－m，）．··········································· 11分

设直线OM的解析式为，则，所以．

①当时，作FH⊥轴于点H，由题意O₁(－m，0)，又O₁D₁∥OD，所以直线O₁D₁的解析式为．

联立方程组，解得，

所以，所以FH=，

S_{四边形OFD1E}=S_□OO1D1D-S_△OO1F-S_△DD1E

=

==．········································································· 13分

②如图3，当时，设D₁P₁交OM于点F，直线OM的解析式为，所以，所以，

∴S_△OEF===

综上所述，．