Question

12．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P₁，此时AP₁=$\sqrt{2}$；将位置①的三角形绕点P₁顺时针旋转到位置②，可得到点P₂，此时AP₂=1+$\sqrt{2}$；将位置②的三角形绕点P₂顺时针旋转到位置③，可得到点P₃，此时AP₃=2+$\sqrt{2}$；…，按此规律继续旋转，直至得到点P₂₀₁₄为止．则AP₂₀₁₄=1342+672$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知得AP₁=$\sqrt{2}$，AP₂=1+$\sqrt{2}$，AP₃=2+$\sqrt{2}$；再根据图形可得到AP₄、AP₅、AP₆、AP₇、AP₈、AP₉，每三个一组，由于2013=3×671，则得出AP₂₀₁₃的长，然后把AP₂₀₁₃加上$\sqrt{2}$即可得出答案．

解答 解：由题意可得：AP₁=$\sqrt{2}$，AP₂=1+$\sqrt{2}$，AP₃=2+$\sqrt{2}$；
AP₄=2+2$\sqrt{2}$；AP₅=3+2$\sqrt{2}$；AP₆=4+2$\sqrt{2}$；
AP₇=4+3$\sqrt{2}$；AP₈=5+3$\sqrt{2}$；AP₉=6+3$\sqrt{2}$；
∵2013=3×671，
∴AP₂₀₁₃=（2013-671）+671$\sqrt{2}$=1342+671$\sqrt{2}$，
∴AP₂₀₁₄=1342+671$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=1342+672$\sqrt{2}$．
故答案为：1342+672$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．