题目内容
17．已知：点火器A是直线y=kx上一点，点P是线段OA上的一个动点（P不与O，A重合），过点P作x轴的垂线，垂足为点B，以PB为边长在PB的右侧做正方形PBCD，则点C落在x轴上，作射线AD交x轴于点E，如图，若OA=10，cos∠AOE=$\frac{3}{5}$，设OP=m．（1）求点A的坐标；
（2）请用含m的代数式表示△APD的面积为S，并求当m为何值时，S有最大（或最小）值，最大（或最小）值是多少？
（3）①请用含m的代数式表示线段OE的长；
②当m为何值时，以点O，D，C为顶点的直角三角形与Rt△CDE相似？
分析 （1）设A（a，b），根据根据三角函数的定义，以及OA的长列出方程，即可求出a与b的值，即可确定出A的坐标；
（2）根据S△APD=$\frac{1}{2}$•AP•PDsin∠APD构建二次函数，即可利用二次函数的性质解决问题．
（3）①由△APD∽△AOE，推出 $\frac{PD}{OE}$=$\frac{AP}{AO}$，列出方程即可解决问题．
②由DC与OC的比值确定，若三角形OCD与三角形DCE相似，得比例求出m的值即可．
解答 解：（1）设A（a，b），作AF⊥OE于F．
cos∠AOF=$\frac{a}{OA}$=$\frac{3}{5}$，即a=$\frac{3}{5}$×10=6，sin∠AOF=$\frac{b}{OA}$=$\frac{4}{5}$，即b=$\frac{4}{5}$×10=8，
则A（6，8）；
（2）∵sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，sin∠APD=sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，
∵AP=OA-OP=10-m，$\frac{4}{5}$=$\frac{PB}{OP}$=$\frac{PB}{m}$，即PB=PD=$\frac{4}{5}$m，
∴S△APD=$\frac{1}{2}$AP•PDsin∠APD=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$×（10-m）×$\frac{4}{5}$m═-$\frac{8}{25}$m2+$\frac{80}{25}$m，
则S△APD有最大值，当m=5时，Smax=8；
（3）①∵△APD∽△AOE，
∴$\frac{PD}{OE}$=$\frac{AP}{AO}$，即 $\frac{\frac{4}{5}m}{OE}$=$\frac{10-m}{10}$，
整理得：OE=$\frac{8m}{10-m}$，
②∵DC与OC成固定比例 $\frac{4}{7}$，
若△OCD∽△DCE，则有 $\frac{CE}{DC}$=$\frac{DC}{OC}$=$\frac{4}{7}$，即 $\frac{\frac{8m}{10-m}-\frac{7}{5}m}{\frac{4}{5}m}$=$\frac{4}{7}$，
解得：m=$\frac{74}{13}$．
若△OCD∽△ECD，则有$\frac{CD}{EC}$=$\frac{DC}{OC}$=$\frac{4}{7}$，
∴$\frac{\frac{4}{5}m}{\frac{8m}{10-m}-\frac{7}{5}m}$=$\frac{4}{7}$，
解得m=$\frac{50}{7}$，
综上所述，m的值为$\frac{74}{13}$或$\frac{50}{7}$．
点评 本题考查相似三角形综合题、锐角三角函数定义、三角形面积公式，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
全能测控一本好卷系列答案
如图所示，直线y1=x+n与y轴交于点（0，1），直线y2=-x+m与x轴交于点（3，0），两直线交于点A．不等式x+n≥-x+m的解集为x≥1．
已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF=60°，则∠EGC的度数为60°．
如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=60°，点E为四边形ABCD内部一点，连接AE、BE，∠AEB=∠CBE=90°，BC=3，则线段BE的长为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．