题目内容
如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，D为垂足，求证：| 1 |
| AC2 |
| 1 |
| BC2 |
| 1 |
| CD2 |
考点：相似三角形的判定与性质
专题：证明题
分析：由条件可证明△ACD∽△ABC∽△CBD，可得到AC2=AD•AB，BC2=BD•AB，CD2=AD•BD，再化入化简可证得等式成立．
解答：证明：
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=∠A+∠B，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴
=
，即AC2=AD•AB，
同理△CBD∽△ABC，可得BC2=BD•AB，
∴△ACD∽△CBD，
∴
=
，即CD2=AD•BD，
∴
+
=
+
=
=
=
=
．
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=∠A+∠B，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴
| AD |
| AC |
| AC |
| AB |
同理△CBD∽△ABC，可得BC2=BD•AB，
∴△ACD∽△CBD，
∴
| AD |
| CD |
| CD |
| BD |
∴
| 1 |
| AC2 |
| 1 |
| BC2 |
| 1 |
| AD•AB |
| 1 |
| BD•AB |
| BD+AD |
| AD•BD•AB |
| AB |
| AD•BD•AB |
| 1 |
| AD•BD |
| 1 |
| CD2 |
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用相似把线段的平方化成线段的乘积是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知点A（-2，1），点B（3，2），在x轴上求一点P，使AP+BP最小，下列作法正确的是（ ）
| A、点P与O（0.0）重合 |
| B、连接AB交y轴于P，点P即为所求． |
| C、过点A作x轴的垂线，垂足为P，点P即为所求 |
| D、作点B关于x轴的对称点C，连接AC，交x轴于P，点P即为所求 |
已知：AC和BD相交于点E，AB∥DC，AB=DC，试说明：BE=DE．
如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG，点G在边CD上，连接AF，取AF中点M，连接DM、GM．求证：