Question

如图，在⊙O中，AB=4

3

，∠A=30°，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于点F．
（1）求图中阴影部分的面积（结果保留π）；
（2）若用阴影部分围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面半径．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,圆锥的计算

专题：

分析：（1）先根据垂径定理得出BF=

1

2

BD，由直角三角形的性质求出BF的长，再由三角形外角的性质得出∠BOF的度数，故可得出∠BOD即OB的长，根据扇形的面积公式即可得出结论；
（2）设圆锥的底面半径为r，先求出

BD

的长，再由圆的周长公式即可得出结论．

解答：解：（1）∵，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于点F，
∴BF=

1

2

BD．
∵AB=4

3

，∠A=30°，
∴BF=

1

2

AB=2

3

．
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠A=30°．
∵∠BOF是△AOB的外角，
∴∠BOF=∠A+∠ABO=30°+30°=60°，
∴OB=

BF

sin60°

=

2 3

3 2

=4，∠BOD=2∠BOF=120°，
∴S_扇形AOB=

120π×42

360

=

16

3

π；

（2）设圆锥的底面半径为r，
∵由（1）知，∠BOD=120°，OB=4，
∴

BD

的长=

120π×4

180

=

8π

3

，
∴2πr=

8π

3

，
解得r=

4

3

．

点评：本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．