Question

13．已知关于x的一元二次方程mx²+2（m+1）x+m²-1=0
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两实数根x₁、x₂满足（x₁-x₂）²=16-x₁x₂，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=4（m+1）²-4（m²-1）=8m+4≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-2（m+1），x₁x₂=m²-1，再利用完全平方公式变形（x₁-x₂）²=16-x₁x₂得到（x₁+x₂）²-3x₁x₂=16，则4（m+1）²-3（m²-1）=16，解方程得m₁=-9，m₂=1，然后利用m的值值范围确定满足条件的m的值．

解答 解：（1）根据题意得△=4（m+1）²-4（m²-1）=8m+4≥0，
解得m≥-$\frac{1}{2}$；
（2）根据题意得x₁+x₂=-2（m+1），x₁x₂=m²-1，
∵（x₁-x₂）²=16-x₁x₂，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16-x₁x₂，即（x₁+x₂）²-3x₁x₂=16，
∴4（m+1）²-3（m²-1）=16，
整理得m²+8m-9=0，解得m₁=-9，m₂=1，
而m≥-$\frac{1}{2}$；
∴m的值为1．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．