题目内容
如图，抛物线与x轴相交于A（-7，0），B（8，0），与y轴相交于C（0，6），动点P从点C出发沿CB边以每秒1个单位长的速度向B匀速运动，到达B后停止，动点Q从B出发沿BA也以每秒1个单位长的速度向A匀速运动，P、Q同时出发，P停止时，Q也随之停止，设P、Q运动的时间为t秒．（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q在何位置时，△BPQ与△ABC相似？
（3）若DE是线段PQ的垂直平分线且垂足为D，
①点Q在什么位置时，DE过C点？
②当直线DE与AC边有交点时，设交点为M，则四边形AMDQ能否成为直角梯形？若能，请直接写出Q点的坐标；若不能，说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）由条件设抛物线的解析式为y=（x+7）（x-8），将C（0，6）直接代入解析式，求出a的值即可；
（2）根据分类思想，当△PBQ∽△CBA时和当△PQB∽△ACB时，由相似三角形的性质就可以求出t的值就可以求出Q的坐标；
（3）①根据垂直平分线的性质运用勾股定理建立方程求出t的值就可以求出结论；
②由相似三角形的性质就可以求出t的值，而得出Q的坐标，由平行线的性质就可以得出∠AMD=90°，进而得出四边形AMDQ为直角梯形．
（2）根据分类思想，当△PBQ∽△CBA时和当△PQB∽△ACB时，由相似三角形的性质就可以求出t的值就可以求出Q的坐标；
（3）①根据垂直平分线的性质运用勾股定理建立方程求出t的值就可以求出结论；
②由相似三角形的性质就可以求出t的值，而得出Q的坐标，由平行线的性质就可以得出∠AMD=90°，进而得出四边形AMDQ为直角梯形．
解答：解：（1）由题意设抛物线的解析式为y=（x+7）（x-8）．
∵C（0，6）在函数图象上，
∴6=-56a，
∴a=-
．
∴抛物线的解析式为：y=-
（x+7）（x-8）=-
x2+
x+6．
答：抛物线的解析式为：y=-
x2+
x+6；
（2）∵A（-7，0），B（8，0），C（0，6），
∴OA=7，OB=8，OC=6．
∴AB=15．
在Rt△AOC和Rt△BOC中，由勾股定理，得
AC=
，BC=10．
∵CP=BQ=t，
∴BP=10-t．
∴sin∠OBC=
，cos∠OBC=
．
∴PE=
BP=6-
t，BE=8-
t．
∴QE=
t，
∴P（
t，6-
t），Q（8-t，0）．
当△PBQ∽△CBA时，
∴
=
，
∴
=
，
∴t=6．
∴Q（2，0）；
当△PQB∽△ACB时，
∴
=
，
∴
=
，
∴t=4．
∴Q（4，O）；
（3）①连接CQ．
∵点D是PQ的中点，且ED⊥PQ，
∴CQ=CP=t，
∵BQ=t，
∴OQ=8-t，
在Rt△OQC中，由勾股定理，得
36+（8-t）2=t2，
解得：t=6.25，
∴BQ=6.25，
∴OQ=1.75，
∴Q（1.75，0）．
∴点Q在（1.75，0）时，DE过C点；
②如图4
∵当△PBQ∽△CBA时，t=6，
∴∠BPQ=∠BCA，0Q=2，
∴PQ∥AC，Q（2，0）
∴∠AMD=∠QDS．
∵MD⊥PQ，
∴∠QDS=90°，
∴∠AMD=90°．
∵PQ∥AC，
∴四边形AMDQ是直角梯形．
∵C（0，6）在函数图象上，
∴6=-56a，
∴a=-
| 3 |
| 28 |
∴抛物线的解析式为：y=-
| 3 |
| 28 |
| 3 |
| 28 |
| 3 |
| 28 |
答：抛物线的解析式为：y=-
| 3 |
| 28 |
| 3 |
| 28 |
（2）∵A（-7，0），B（8，0），C（0，6），
∴OA=7，OB=8，OC=6．
∴AB=15．
在Rt△AOC和Rt△BOC中，由勾股定理，得
AC=
| 85 |
∵CP=BQ=t，
∴BP=10-t．
∴sin∠OBC=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴PE=
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴QE=
| 4 |
| 5 |
∴P（
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
当△PBQ∽△CBA时，
∴
| BP |
| BC |
| BQ |
| AB |
∴
| 10-t |
| 10 |
| t |
| 15 |
∴t=6．
∴Q（2，0）；
当△PQB∽△ACB时，
∴
| PB |
| AB |
| QB |
| CB |
∴
| 10-t |
| 15 |
| t |
| 10 |
∴t=4．
∴Q（4，O）；
（3）①连接CQ．
∵点D是PQ的中点，且ED⊥PQ，
∴CQ=CP=t，
∵BQ=t，
∴OQ=8-t，
在Rt△OQC中，由勾股定理，得
36+（8-t）2=t2，
解得：t=6.25，
∴BQ=6.25，
∴OQ=1.75，
∴Q（1.75，0）．
∴点Q在（1.75，0）时，DE过C点；
②如图4
∵当△PBQ∽△CBA时，t=6，
∴∠BPQ=∠BCA，0Q=2，
∴PQ∥AC，Q（2，0）
∴∠AMD=∠QDS．
∵MD⊥PQ，
∴∠QDS=90°，
∴∠AMD=90°．
∵PQ∥AC，
∴四边形AMDQ是直角梯形．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，中垂线的性质的运用，勾股定理的运用，直角梯形的判定及性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
练习册系列答案
相关题目