Question

如图，D是AB的中点，CE过点D且AC⊥CE于C，BE⊥CE于E，已知sin∠BCD=

1

3

，求sinA，cosA的值．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：由一对直角相等，一对对顶角相等，以及AD=BD，利用AAS得到三角形ACD与三角形BED全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=BE，在直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义及sin∠BCD=

1

3

，设BE=AC=x，则有BC=3x，利用勾股定理表示出CE，进而表示出CD，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出sinA与cosA的值即可．

解答：解：∵AC⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ACD=∠BED=90°，
∵D为AB的中点，
∴CD=ED，
在△ACD和△BED中，

∠ACD=∠BED ∠ADC=∠BDC AD=BD

，
∴△ACD≌△BED（AAS），
∴AC=BE，
在Rt△BEC中，sin∠BCD=

BE

BC

=

1

3

，
设BE=AC=x，则有BC=3x，
根据勾股定理得：CE=2

2

x，
∴CD=DE=

2

x，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD=

AC2+CD2

=

3

x，
则sinA=

CD

AD

=

2 x

3 x

=

6

3

，cosA=

AC

AD

=

x

3 x

=

3

3

．

点评：此题属于解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．