Question

8．如图，AD、AE分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，分别交BC和BC的延长线于D、E，且2AB=3AC．求BD：DC：CE的值．

Answer 1

分析 过点B作BM∥AC交AD的延长线于点M，如图1，根据平行线的性质和角平分线的性质得到AB=MB，由BM∥AC可得△CDA∽△BDM，则有$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AC}{MB}$，由AB=MB，可得$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$；过点C作CN∥AB交AE于点N，根据平行线的性质和角平分线的性质得到CA=CN，由CN∥AB，可得△ECN∽△EBA，则有$\frac{CE}{BE}$=$\frac{CN}{BA}$，由CA=CN，更好等量代换即可得到结论．

解答 解：过点B作BM∥AC交AD的延长线于点M，
则有∠M=∠DAC．
∵∠BAD=∠DAC，
∴∠M=∠BAD，
∴AB=MB．
∵BM∥AC，
∴△CDA∽△BDM，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AC}{MB}$，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$，
∵2AB=3AC，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
过点C作CN∥AB交AE于点N，
则有∠GAE=∠ANC．
∵∠GAE=∠CAE，
∴∠ANC=∠CAE，
∴CA=CN．
∵CN∥AB，
∴△ECN∽△EBA，
∴$\frac{CE}{BE}$=$\frac{CN}{AB}$，
∴$\frac{CE}{BE}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2}{3}$；
∴$\frac{BC}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴BD：DC：CE=2：3：10．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定、角平分线的定义、平角的定义等知识，添加平行线是构造相似三角形常用的一种方法，应熟练掌握．