△OPA和△OQB分别是以OP.OQ为直角边的等腰直角三角形.点C.D.E分别是OA.OB.AB的中点．(1)当∠AOB=90°时如图1.连接PE.QE.直接写出EP与EQ的大小关系,(2)将△OQB绕点O逆时针方向旋转.当∠AOB是锐角时如图2.(1)中的结论是否成立?若成立.请给出证明,若不成立.请加以说明．(3)仍将△OQB绕点O旋转.当∠AOB为钝角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．
（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；
（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．
（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．

分析（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；
（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED即可得出结论；
（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．

解答解：（1）如图1，延长PE，QB交于点F，
∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，
∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，
∴点P，O，Q在同一条直线上，
∵∠APO=∠BQO=90°，
∴AP∥BQ，
∴∠PAE=∠FBE，
∵点E是AB中点，
∴AE=BE，
∵∠AEP=∠BEF，
∴△APE≌△BFE，
∴PE=EF，
∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，
∴EP=EQ；

（2）成立，
证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，
∴CE∥OB，CE=$\frac{1}{2}$OB，
∴∠DOC=∠ECA，
∵点D是Rt△OQB斜边中点，
∴DQ=$\frac{1}{2}$OB，
∴CE=DQ，
同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，
∴∠ECA=∠BDE，
∵∠PCE=∠EDQ，
∴△EPC≌△QED，
∴EP=EQ；

（3）如图3，连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，
∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，
∴GB=GO=GA，
∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，
设∠GOB=x，∠GOA=y，
∴x+x+y+y+60°=360°
∴x+y=150°，
∴∠AOB=150°．

点评此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，解（1）的关键是构造全等三角形，解（2）的关键是判断出CE=DQ，解（3）的关键是判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，是一道中等难度的题目．

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