Question

10．如图，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上
（1）如图，若∠A=60°，且三角尺的两条直角边XY、XZ恰好分别经过点B、C，则∠ABX+∠ACX=30°
；
（2）如果将三角尺的直角顶点X放到△ABC外部，两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，那么∠ABX、∠ACX、∠A这三者之间有何等量关系？请画出图形并说明理由（备用图形供分析时使用）

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）将三角尺的直角顶点X放到△ABC外部，①如图1，根据三角形的内角和得到∠A=180°-（∠ABC+∠ACB），在△BCX中，由三角形的内角和得到∠X+∠BCX+∠CBX=180°求得∠BCX+∠CBX=90°，于是得到∠ABX+∠ACX+∠A=270°；②如图2，根据三角形的内角和得到∠A+∠ACH=180°-∠AHC=180°-∠XHB，于是得到∠XHB=90°-∠XBH，求得∠A+∠ACH=180°-（90°-∠XBH）=90°+∠ABX，即可得到结论；③如图3，根据三角形的内角和得到∠A+∠ABH=180°-∠AHB=180°-∠XHC，由∠X=90°，得到∠XHC=90°-∠XCH，于是得到∠A+∠ABH=180°-（90°-∠XCH）=90°+∠ACX，即可得到结论．

解答 解：（1）∠ABX+∠ACX=30度．理由如下：
∵∠X=90°
∴∠ABX+∠ACX=180°-∠A-∠XBC-∠XCB
=180°-60°-（180°-90°）
=30°；
故答案为：30°；

（2）将三角尺的直角顶点X放到△ABC外部，①如图1，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB），
在△BCX中，∠X+∠BCX+∠CBX=180°
∴∠BCX+∠CBX=90°，
∴∠ABX+∠ACX+∠A=270°；
②如图2，∵∠A+∠ACH=180°-∠AHC=180°-∠XHB，
∵∠X=90°，
∴∠XHB=90°-∠XBH，
∴∠A+∠ACH=180°-（90°-∠XBH）=90°+∠ABX，
即∠A+∠ACH-∠ABX=90°；
③如图3，∵∠A+∠ABH=180°-∠AHB=180°-∠XHC，
∵∠X=90°，
∴∠XHC=90°-∠XCH，
∴∠A+∠ABH=180°-（90°-∠XCH）=90°+∠ACX，
即∠A+∠ABH-∠ACX=90°．

点评 本题考查了三角形的内角和，三角形的外角的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．