Question

14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t=$\frac{13}{2}$时，四边形ABQP是怎样的四边形？说明理由；
（2）填空：当t=6s时，四边形PQCD是平行四边形；
（2）从运动开始，使PQ=CD，t=6s或7s．

Answer 1

分析 （1）四边形ABQP是矩形，求出AP、BQ的长，即可解决问题．
（2）根据平行四边形的判定方法可知：四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ；
（3）设运动时间为t秒，则有AP=tcm，CQ=3tcm，作PM⊥BC于BC于M，DN⊥BC于N，分别表示出BM、QM，则利用等腰梯形的性质可建立关于t的方程，解出即可．

解答 解：（1）结论∴四边形ABQP是矩形．
理由：当t=$\frac{13}{2}$时，AP=$\frac{13}{2}$，BQ=BC-CQ=26-3×$\frac{13}{2}$=$\frac{13}{2}$，
∴AP=BQ，∵AP∥BQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴四边形ABQP是矩形．

（2）当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形；
∴24-x=3x        
解得x=6s，
故答案为6s
（3）①由（2）可知t=6s时，四边形PQCD是平行四边形，此时PQ=CD．
②当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ=CD．
设运动时间为t秒，则有AP=tcm，CQ=3tcm，
∴BQ=26-3t，
作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，则有NC=BC-AD=26-24=2．
∵梯形PQCD为等腰梯形，
∴NC=QM=2，∴BM=（26-3t）+2=28-3t，
∴当AP=BM，即t=28-3t，解得t=7，
∴t=7时，四边形PQCD为等腰梯形．
综上所述t=6s或7s时，PQ=CD．
故答案为6s或7s．

点评 此题考查了梯形的性质及等腰梯形的判定，属于动点型问题，关键是判断出要求的三种条件下，点P及点Q位置，然后利用方程思想求解t的值，难度较大．