Question

14．如图，正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点C，点C的横坐标为1，且一次函数y=kx+b的图象交x轴于点D．点D的坐标为（-3，0），过正比例函数y=2x的图象上一点A，作直线AF垂直于x轴于点F，交直线CD于点B，点F的坐标为（4，0）
（1）求一次函数y=kx+b的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）请问在x轴上是否存在点E，连接CE，使得△DCE的面积是△ABC的2倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点C，点C的横坐标为1，求出点C的坐标是多少；然后根据点D的坐标为（-3，0），求出一次函数y=kx+b的解析式即可．
（2）首先根据点C的横坐标为1，点F的横坐标为4，求出CG的值是多少；然后分别求出点A、点B的坐标各是多少，进而求出AB的长度是多少；最后根据三角形的面积公式，求出△ABC的面积是多少即可．
（3）在x轴上存在点E（$\frac{21}{2}$，0）或E（-$\frac{33}{2}$，0），连接CE，使得△DCE的面积是△ABC的2倍．首先作CH⊥x轴于点H，根据点C的坐标，求出CH的值是多少；然后求出△DCE的面积是多少，进而求出DE的值是多少；最后根据点D的坐标为（-3，0），求出点E的坐标是多少即可．

解答 解：（1）∵正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点C，点C的横坐标为1，
∴点C的坐标是（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
∴一次函数y=kx+b的解析式是：
y=$\frac{1}{2}$x$+\frac{3}{2}$．

（2）如图1，作CG⊥AF于点G，，
∵点C的横坐标为1，点F的横坐标为4，
∴CG=4-1=3；
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x=4}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=8}\end{array}\right.$
∴点A的坐标是（4，8）；
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\\{x=4}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$
∴点B的坐标是（4，$\frac{7}{2}$），
∴AB=8-$\frac{7}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴△ABC的面积为：
S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•CG$=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×3=$\frac{27}{4}$．

（3）在x轴上存在点E（$\frac{21}{2}$，0）或E（-$\frac{33}{2}$，0），连接CE，使得△DCE的面积是△ABC的2倍．
如图2，作CH⊥x轴于点H，，
∵点C的坐标是（1，2），
∴CH=2，
∵S_△ABC=$\frac{27}{4}$，
∴S_△DCE=2S_△ABC=2×$\frac{27}{4}$=$\frac{27}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$DE×2=$\frac{27}{2}$，
∴DE=$\frac{27}{2}$，
又∵点D的坐标为（-3，0），
∴点E（$\frac{21}{2}$，0）或E（-$\frac{33}{2}$，0），
∴在x轴上存在点E（$\frac{21}{2}$，0）或E（-$\frac{33}{2}$，0），连接CE，使得△DCE的面积是△ABC的2倍．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了直线解析式的求法，以及三角形的面积的求法，要熟练掌握．