题目内容
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如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的点，BE交AD于点O，完成下列解答：（1）当$\frac{AE}{EC}$=1时，此时O为重心，则$\frac{AO}{OD}$的值为2；
（2）当$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{2}$时，求证：AO=OD；
（3）当$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{3}$时，求$\frac{AO}{OD}$值；
（4）当E是AC上任意一点（点E不与端点A、C重合）时，猜想$\frac{AE}{EC}$与$\frac{AO}{OD}$之间的关系，并证明你的猜想．
分析 （1）判断出BE是△ABC的中线，然后根据三角形的重心的定义解答，再根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的2倍解答；
（2）过点D作DF∥AC交BE于F，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF=$\frac{1}{2}$EC，再根据平行线分线段成比例定理列出比例式整理即可得证；
（3）（4）根据（2）的证明方法求解即可．
解答 
（1）解：∵$\frac{AE}{EC}$=1，
∴AE=EC，
∴BE是△ABC的中线，
又∵D为BC边的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴O为△ABC的重心，
$\frac{AO}{OD}$=2；
故答案为：重心；2；
（2）证明：如图，过点D作DF∥AC交BE于F，
∵D为BC边的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=$\frac{1}{2}$EC，
∵$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AE=$\frac{1}{2}$EC，
∴$\frac{AE}{DF}$=1，
∵DF∥AC，
∴$\frac{AO}{OD}$=$\frac{AE}{DF}$，
∴AO=OD；
（3）解：过点D作DF∥AC交BE于F，
∵D为BC边的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=$\frac{1}{2}$EC，
∵$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{3}$，
∴AE=$\frac{1}{3}$EC，
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{2}{3}$，
∵DF∥AC，
∴$\frac{AO}{OD}$=$\frac{AE}{DF}$=$\frac{2}{3}$；
（4）解：过点D作DF∥AC交BE于F，
∵D为BC边的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=$\frac{1}{2}$EC，
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{2AE}{EC}$，
∵DF∥AC，
∴$\frac{AO}{OD}$=$\frac{2AE}{EC}$．
点评 本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，难点在于作辅助线构造出三角形的中位线并且同时利用平行线分线段成比例定理．
如图，平面直角坐标系中，直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$与x轴交于点A，与y轴交于点D，与双曲线y=$\frac{k}{x}$在第一象限内交于点B，BC⊥x轴于点C，AB=3AD．求双曲线的解析式．
将图①沿中间的小正方形的对角线剪开，得到图②所示的梯形，请利用图②面积的两种表示式验证勾股定理．