Question

17．在矩形ABCD中，E在边BC上，且BE：CE=3：5，F为边AD上一动点，连接EF，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C恰好落在AB边上的点C′处．
（1）如图1，当点C′与点A重合时，求证：BE=DF；
（2）如图2，当点F与点D重合时，求$\frac{BC}{AB}$的值；
（3）如图3，当$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{3}$时，若DF=5，求线段AF的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD为矩形，得到∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，由翻折的性质得到CD=AG，∠C=∠EAG，FD=FG，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）设BE=3x，则CE=5x，得到C′E=5x，AD=8x，在Rt△BEC′中，由勾股定理得BC′=4x，由翻折的性质得到∠C=∠GC′E=90°，根据相似三角形的性质得到结论；
（3）设BE=3a，则CE=5a，BC=8a，于是求得AB=6a，根据相似三角形的性质得到C′N=$\frac{10a}{3}$，由翻折的性质CD=C′G，FD=FG=5，然后根据相似三角形的性质即刻得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，
由翻折得CD=AG，∠C=∠EAG，FD=FG，
∴∠BAE=∠GAF，
在△ABE与△AGF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠G=90°}\\{AB=AG}\\{∠BAE=∠GAF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AGF，
∴BE=GF，
∴BE=DF；

（2）设BE=3x，则CE=5x，∴C′E=5x，AD=8x，
在Rt△BEC′中，由勾股定理得BC′=4x，
由翻折得∠C=∠GC′E=90°，
∴∠BEC′=∠AC′D，
∴△BEC′∽△AC′D，
∴$\frac{BC′}{AD}$=$\frac{BE}{AC′}$，
∴AC′=6x，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{8x}{10x}$=$\frac{4}{5}$；

（3）设BE=3a，则CE=5a，BC=8a，
∴AB=6a，
又∵$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{3}$，
∴BC′=4a，
∴AC′=2a，
易证△BC′E∽△ANC′，
∴$\frac{BE}{AC′}$=$\frac{EC′}{C′N}$，
∴C′N=$\frac{10a}{3}$，
由翻折得CD=C′G，FD=FG=5，
∴C′G=6a，
∴NG=$\frac{8a}{3}$，
又易证△BC′E∽△GNF，
∴$\frac{BE}{GF}$=$\frac{C′B}{NG}$，a=$\frac{5}{2}$，
∴AD=20，
∴AF=15．

点评 本题考查了翻折的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．