Question

（2012•南岗区三模）△ABC是边长为2的等边三角形，点P、Q分别是边AC与边BC上的两点，QC=2AP，设AP=x，△PQC的面积为S．
（1）直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当x为何值时，S有最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）首先过点A作AD⊥BC于点D，作P作PE⊥BC于点E，根据平行线分线段成比例定理，即可求得PE的值，继而求得S与x之间的函数关系式；
（2）由a=-

3

2

＜0，即可得当当x=1时，S最大值为

3

2

．

解答：解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，作P作PE⊥BC于点E，
∴PE∥AD，
∴

PC

AC

=

PE

AD

，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AD=AB•sin60°=

3

，
∵AP=x，
∴PC=AC-AP=2-x，
∴

PE

3

=

2-x

2

，
解得：PE=

3

-

3

2

x，
∵QC=2AP=2x，
∴S=

1

2

CQ•PE=

1

2

×2x×（

3

-

3

2

x）=-

3

2

x²+

3

x=-

3

2

（x-1）²+

3

2

，
∴S与x之间的函数关系式为：y=-

3

2

（x-1）²+

3

2

；

（2）∵a=-

3

2

＜0，
∴S有最大值，
∴当x=1时，S最大值为

3

2

．

点评：此题考查了二次函数的最值问题与平行线分线段成比例定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．