Question

1．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，将矩形沿对角线AC剪开，请解决以下问题：
（1）将△ACD绕点C顺时针旋转90°得到△A′CD′，请在备用图中画出旋转后的△A′CD′，连接AA′，并求线段AA′的长度；
（2）在（1）的情况下，将△A′CD′沿CB向左平移t（0＜t＜2$\sqrt{3}$），设平移后的图形与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，由∠B=90°，AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，推出tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，推出∠ACB=30°，AC=2AB=4，由CA=CA′=4，∠ACA′=90°，推出AA′=$\sqrt{2}$AC．即可解决问题．
（2）分两种情形讨论①如图2中，当0＜t≤2时，重叠部分是△CC′M，②如图3中，当2＜t≤2$\sqrt{3}$时，重叠部分是四边形MNC′D′．分别计算即可．

解答 解：（1）如图1中，

在Rt△ABC中，∵∠B=90°，AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACB=30°，AC=2AB=4，
∵CA=CA′=4，∠ACA′=90°，
∴AA′=4$\sqrt{2}$．

（2）①如图2中，当0＜t≤2时，重叠部分是△CC′M，

∵CC′=t，∠ACB=30°，∠A′C′D′=60°，
∴∠CMC′=90°，
∴C′M=$\frac{1}{2}$t，CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$t•$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²，

②如图3中，当2＜t＜2$\sqrt{3}$时，重叠部分是四边形MNC′D′．

S=S_△CNC′-S_△CMD′=$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²-$\frac{1}{2}$•（t-2）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$•（t-2）=-$\frac{\sqrt{3}}{24}$t²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{8}{t}^{2}}&{（0＜t≤2）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{24}{t}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}t-\frac{2\sqrt{3}}{3}}&{（2＜t＜2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$．

点评 本题可知作图-旋转变换、分段函数的应用，平移变换、勾股定理，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．