Question

如图，已知正方形ABCD中，点E为BC边上一点，BE=1，tan∠BAE=

1

3

，将△ABE绕点B顺时针旋转90°后得到△CBF．
（1）试判断直线AE与直线CF的位置关系，并说明理由；
（2）求出线段AE所扫过的面积；
（3）如果点M在直线AC上，那么在正方形ABCD所在平面内是否存在点P，使得以C，E，M，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出AM的长；若不存在，
请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）先由旋转的性质可知，△ABE≌△CBF，根据全等三角形的对应角相等，得出∠EAB=∠BCF，再结合三角形内角和定理即可作出判断．
（2）根据AE所扫过区域的面积为：S_扇形ABC+S_△BCF-S_扇形EBF-S_△ABE，进而得出即可．
（3）本问关键是确定菱形的位置．因为M、P为动点，C、E已经确定，所以可从此入手，按照CM分别为对角线和菱形的边的思路，确定菱形的位置，利用菱形的性质即可求得CM的长，进而求得AM的长．

解答：解：（1）AE⊥CF；
理由：如图1，延长AE交CF于G，

∵将△ABE沿点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，
∴△ABE≌△CBF，∠ABE=∠FBC=90°，
∴AE=CF，∠BAE=∠BCF，
∵∠AEB=∠GCE，
∴∠ABE=∠CGE=90°，
∴AE⊥CF．
（2）如图2，线段AE所扫过的面积为：S_扇形ABC+S_△BCF-S_扇形EBF-S_△ABE=S_扇形ABC-S_扇形EBF=

90π(32-12)

360

=2π．

（3）若以C，E，M，P为顶点的四边形是菱形，则可能存在以下情形：
①CM为菱形的对角线，如图3①所示．

∵以C，E，M，P为顶点的四边形是菱形，
∴四边形PMEC是菱形，
又∵∠PCE=90°，
∴四边形是正方形，
∴ME∥AB，
∴

AM

AC

=

EB

BC

，
∵BE=1，tan∠BAE=

BE

AB

=

BE

BC

=

1

3

，
∴AB=BC=3，
∴AC=

AB2+BC2

=3

2

，
∴AM=

1

3

×3

2

=

2

；
②CM为菱形的边，则P在BC的左侧，如图3②所示．

∵以C，E，M，P为顶点的四边形是菱形，
∴四边形PMCE是菱形，
∴CM=CE=2，
∴AM=AC-CM=3

2

-2
③CM为菱形的边，则P在BC的右侧，如图3③所示．

∵以C，E，M，P为顶点的四边形是菱形，
∴四边形PMCE是菱形，
∴CM=CE=2，
∴AM=AC+CM=3

2

+2，
④当CE为对角线，MP垂直平分CE时，如图3④所示，

∵以C，E，M，P为顶点的四边形是菱形，
∴四边形PEMC是菱形，
∵PM垂直平分CE，
∴PM∥AB
∵CE=2，BE=1，
∴AM=

2

3

AC=

2

3

×3

2

=2

2

综上所述，存在点P，使得以C，E，M，P为顶点的四边形是菱形．
AM的长为：

2

或3

2

-2或3

2

+2或2

2

．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及旋转图形的画法和扇形面积公式等知识，根据题意得出旋转后图形的形状是解题关键；难点在于第（3）问，这是一个存在性问题，注意菱形有四种可能的情形，需要一一分析并求解，避免遗漏．