Question

5．若关于x的一元二次方程kx²-4x+2=0有实数根
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB、BC的长是方程kx²-4x+2=0的两根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有实数根，则二次项系数k≠0且根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于k的不等式组，即可求出k的取值范围；
（2）由于AB=2是方程kx²-4x+2=0的根，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程kx²-4x+2=0有实数根，
∴k≠0且△=b²-4ac=（-4）²-4×k×2=16-8k≥0，
解得：k≤2且k≠0，
所以k的取值范围是k≤2且k≠0；

（2）由于AB=2是方程kx²-4x+2=0，
所以把x=2代入方程，可得k=$\frac{3}{2}$，
所以原方程是：3x²-8x+4=0，
解得：x₁=2，x₂=$\frac{2}{3}$，
即BC=$\frac{2}{3}$，
则△ABC的周长=2+2+$\frac{2}{3}$=4$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，等腰三角形的性质，一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义，比较简单．