Question

8．求函数y=x²-4x+1在a≤x≤a+2上的最小值．

Answer 1

分析 把函数化为顶点式，根据二次函数的增减性分别讨论a＞2、a≤2≤a+2和a+2≥2时的最小值，可求得函数的最小值．

解答 解：
∵y=x²-4x+1=（x-2）²-3，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，
当a＞2时，在a≤x≤a+2上y随x的增大而增大，则当x=a时函数有最小值，最小值为a²-4a+1，
∵a＞2，
∴a²-4a+1=（a-2）²-3＞-3；
当a≤2≤a+2，即0≤a≤2时，在a≤x≤a+2上，当x=2时函数有最小值，最小值为-3；
当a+2＜2，即a＜0时，在a≤x≤a+2上y随x的增大而减小，则当x=a+2时函数有最小值，最小值为a²-3，
∵a＜0，
∴a²-3＞-3；
综上可知在a≤x≤a+2上函数的最小值为-3．

点评 本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的增减性是解题的关键，注意分类讨论．