Question

已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边和外接圆分别相交于点D和E，求证：
（1）△ABD∽△AEC．
（2）AB•AC=AD•AE=AD²+BD•DC．

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理得出∠B=∠E，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）根据相似得出比例式，证△BAD∽△ECD，根据相似三角形的性质得出AD•ED=BD•DC，即可得出答案．

解答：证明：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵∠B=∠E，
∴△ABD∽△AEC；

（2）∵△ABD∽△AEC，
∴

AB

AE

=

AD

AC

，
∴AB•AC=AD•AE=AD（AD+DE）=AD²+AD•ED，
∵∠B=∠E，∠BAD=∠DCE，
∴△BAD∽△ECD，
∴

AD

CD

=

BD

DE

，
∴AD•ED=BD•DC，
∴AB•AC=AD•AE=AD²+BD•DC．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是推出△ABD∽△AEC和△BAD∽△ECD，主要考查学生的推理能力．