Question

1．如图1，点B在线段AC上，点E在线段BD（点E不与点B、D重合）上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB．
（1）求证：AE=DC；
（2）在图1中，设M、N分别是AE、DC的中点，过点E作EF⊥BM，垂足为点F，过点C作CG⊥BN，垂足为点G，如图2，在不添加任何线的情况下试写出图2中所有的全等三角形．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到△ABE与△DBC是直角三角形，根据直角三角形的性质得到AM=BM=EM，BN=CN=DN，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．

解答 证明：（1）在△ABE和△DBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABD=∠DBC}\\{EB=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=DC；
（2）解：∵∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180°，
∴∠ABD=∠DBC=90°，
∴△ABE与△DBC是直角三角形，
∵M、N分别是AE、DC的中点，
∴AM=BM=EM，BN=CN=DN，
∵AE=CD，
∴AM=BM=EM=BN=CN=DN，
在△ABM与△DBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=DN}\\{BM=BN}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DBN，
同理：△BME≌△BNC，
∴∠EMF=∠CNB，∠EBF=∠CBG，
∵EF⊥BM，CG⊥BN，
∴∠EFM=∠EFB=∠CGN=∠CGB=90°，
在△EMF与△CNG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EMF=∠CNG}\\{∠EFM=∠CGN}\\{EM=CN}\end{array}\right.$，
∴△EMF≌△CNG，
同理：△EFB≌△BCG，
故所有的全等三角形有△ABE≌△DBC，△ABM≌△DBN，△BME≌△BNC，△EMF≌△CNG，△EFB≌△BCG．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．