Question

3．已知：如图，D是△ABC的边上一点，M是AC的中点，CN∥AB交DM的延长线于N，且AB=10，BC=8，AC=7．
（1）求证：四边形ADCN是平行四边形；
（2）当AD为何值时，四边形ADCN是矩形．

Answer 1

分析 （1）根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC=∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CN，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据矩形的四个角都是直角可得CD⊥AB，设AD=x，然后在两个直角三角形中利用勾股定理表示出CD²并得到方程求解即可．

解答 （1）证明：∵CN∥AB，
∴∠DAC=∠NCA，
在△AMD和△CMN中，$\left\{\begin{array}{l}∠DAC=∠NCA\\ MA=MC\\∠AMD=∠CMN\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN，
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形；

（2）解：若四边形ADCN是矩形，则CD⊥AB，
设AD=x，则CD²=49-x²=64-（10-x）²，
100-20x=15，
解得x=$\frac{17}{4}$，
所以，AD=$\frac{17}{4}$．

点评 本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形以及平行四边形的判定方法是解题的关键．