Question

如图，在正方形ABCD中，E和F分别是BC和CD上的点，AG⊥EF，∠EAF=45°，求证：AG=AD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：延长CD到M，使DM=BE，连接AM，证△ABE≌△ADF，推出∠DAM=∠BAE，AE=AM，求出∠FAM=∠EAF，证△EAF≌△MAF，推出EF=MF，S_△EAF=S_△MAF，根据三角形面积公式求出即可．

解答：证明：
延长CD到M，使DM=BE，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADF=∠ADM=∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
在△ABE和△ADF中

AB=AD ∠B=∠ADF BE=DF

∴△ABE≌△ADF，
∴∠DAM=∠BAE，AE=AM，
∴∠FAM=∠DAF+∠DAM=∠DAF+∠BAE=45°=∠EAF，
在△EAF和△MAF中

AE=AM ∠EAF=∠MAF AF=AF

∴△EAF≌△MAF，
∴EF=MF，S_△EAF=S_△MAF，
∴

1

2

EF×AG=

1

2

MF×AD，
∴AG=AD．

点评：本题考查了对全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度．