Question

15．【问题情境】如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．
小丽给出的提示是：如图②，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
请根据小丽的提示进行证明．

【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，试猜想PD、PE、CF三者之间的数量关系并证明．
【结论运用】如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．

Answer 1

分析 【问题情境】连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
【变式探究】连接AP，由△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得：CF=PD-PE．
【结论运用】先证BE=BF，过点E作EQ⊥BF，垂足为Q，利用问题情境中的结论可得PG+PH=EQ，易证EQ=DC，故只需求出DC即可．

解答 解：【问题情境】
证明：连接AP，如图②，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
且S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP，
∴$\frac{1}{2}$ AB•CF=$\frac{1}{2}$AB•PD+$\frac{1}{2}$AC•PE．  
∵AB=AC，
∴CF=PD+PE．   

【变式探究】
证明：连接AP，如图③．
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
且S_△ABC=S_△ABP-S_△ACP，
∴$\frac{1}{2}$AB•CF=$\frac{1}{2}$AB•PD-$\frac{1}{2}$AC•PE．
∵AB=AC，
∴CF=PD-PE． 

【结论运用】
过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．
∵AD=8，CF=3，
∴BF=BC-CF=AD-CF=5．
由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF．
∴DF=5．
∵∠C=90°，
∴DC=$\sqrt{D{F}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．  
∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，
∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC，
∴四边形EQCD是矩形，
∴EQ=DC=4．
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB．
∵∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠EFB，
∴BE=BF． 
由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ，
∴PG+PH=4，
∴PG+PH的值为4．

点评 本题主要考查四边形的综合运用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和平行线的性质等知识，也考查了用面积法证明几何问题，运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．