Question

14、称具有a²+161b²形式的数为“好数”，其中a，b都是整数．
（1）证明：100，2010都是“好数”．
（2）证明：存在正整数x，y，使得x¹⁶¹+y¹⁶¹是“好数”，而x+y不是“好数”．

Answer 1

分析：（1）由a²+161b²形式的数为“好数”，将100与2010表示成“好数”的形式即可证明结论的正确性，注意100=10²+161×0²，2010=43²+161×1²；
（2）由161=7×23a²+161×b²除以7的余数可以是0，1，2，4，可知构造x、y时，最好让x+y除以7余3即可，首先证得：x¹⁶¹+y¹⁶¹=（3¹⁶¹+1）¹⁶²=[（3¹⁶¹+1）⁸¹]²+161×0²是好数，再由x+y=3×（3¹⁶¹+1）+3¹⁶¹+1=3×（5+1）+6除以7余3，证得x+y不是好数．

解答：解：（1）∵100=10²+161×0²，2010=43²+161×1²，
∴100，2010是好数；

（2）∵161=7×23a²+161×b²除以7的余数可以是0，1，2，4，
∴构造x、y时，最好让x+y除以7余3，
又∵[p（p¹⁶¹+1）]¹⁶¹+（p¹⁶¹+1）¹⁶¹=（p¹⁶¹+1）¹⁶¹（p¹⁶¹+1）=（p¹⁶¹+1）¹⁶²是平方数，
∴可以令x=3（3¹⁶¹+1），y=3¹⁶¹+1，
∴x¹⁶¹+y¹⁶¹=（3¹⁶¹+1）¹⁶²=[（3¹⁶¹+1）⁸¹]²+161×0²是好数，
又3¹⁶¹除以7余5，
x+y=3×（3¹⁶¹+1）+3¹⁶¹+1=3×（5+1）+6除以7余3，
∴x+y不是好数．

点评：此题考查了平方数的知识与整除问题的应用．此题难度较大，注意理解“好数”的定义是解此题的关键．