Question

15．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论正确的有①③．（填序号）
①GD=GH；②EC=2DG；③S_△CDG=S_{四边形DHGE}； ④图中有7个等腰三角形．

Answer 1

分析 ①根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质证明△CHG≌△EGD即可；
②证明△EFG和△BCG不全等，得到G不是CE中点，判断即可；
③根据△CHG≌△EGD判断；
④找出所有的等腰三角形，进行判断》

解答 解：①∵DF=BD，
∴∠F=∠DBF；
∵∠DEC=∠DBC，
∴∠DBC-∠DBF=∠DEC-∠F．
又∵∠CGB=∠EGF，
∴∠CGB=∠CBG，
∴CG=BC=DE；
∵DE=DC，
∴∠DEG=∠DCE，
∵∠CHG=90°+22.5°=112.5°，∠EGD=180°-（180°-45°）÷2=112.5°，
∴∠CHG=∠EGD，
在△CHG和△EGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CHG=∠EGD}\\{∠GCH=∠DEG}\\{CG=DE}\end{array}\right.$，
∴△CHG≌△EGD，
∴GD=GH，本选项正确；
②∵正方形ABCD，DE=AD，
∴AD∥BC，DE=BC，∠EDC=90°，
∴四边形DECB是平行四边形，
∴BD=CE，BD∥CE，
∵DE=BC=AD，
∴∠DCE=∠DEC=45°，
要使CE=2DG，只要G为CE的中点即可，
但DE=DC，DF=BD，
∴EF≠BC，
即△EFG和△BCG不全等，
∴G不是CE中点，本选项错误；
③∵△CHG≌△EGD，
∴∠EDG=∠CGB=∠CBF
∴∠GDH=∠GHD
∴S_△CDG=S_?DHGE
本选项正确；
④等腰三角形有△ABD，△CDB，△BDF，△CDE，△BCG，△DGH，△EGF，△CDG，△DGF共9个，本选项错误，
故答案为：①③．

点评 此题主要考查了等腰三角形的判定与性质、正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定．解答该题的关键是证明△CHG≌△EGD、四边形DECB是平行四边形．