Question

如图，对称轴为直线l的抛物线y=ax²+bx+c与坐标轴交于点A、C，且OA=2OC=1．则下列结论：①当x＜0时，y随x的增大而增大；②4a+2b+1＞0；③b＜

8

5

；④2a+b＜0．其中正确的结论有（　　）个．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：压轴题,数形结合

分析：由OA=2OC=1可得到A点坐标为（0，1），C点坐标为（-

1

2

，0），把它们代入解析式得到c=1，

1

4

a-

1

2

b+1=0，即a=2b-4；由于抛物线的对称轴在y轴的右侧，且开口向下则当x＜0时，y随x的增大而增大；当x=2时y＜0，则4a+2b+c＜0，把c=2代入后得到4a+2b+1＜0；再把a=2b-4代入4a+2b+1＜0可解得b＞

3

2

，又x=1时y＞0，则a+b+1＞0，
再把a=2b-4代入a+b+1＞0可解得b＞1，则1＜b＜

3

2

；由于对称轴方程满足0＜-

b

2a

＜1，而a＜0，变形即可得到2a+b＜0．

解答：解：∵OA=2OC=1，
∴A点坐标为（0，1），C点坐标为（-

1

2

，0），
∴c=1，

1

4

a-

1

2

b+1=0，即a=2b-4，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，且开口向下，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，所以①正确；
∵x=2时y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
而c=1，
∴4a+2b+1＜0，所以②错误；
把a=2b-4代入4a+2b+1＜0得到4（2b-4）+2b+1＜0，解得b＜

3

2

，
∵x=1时y＞0，则a+b+1＞0，
把a=2b-4代入a+b+1＞0得2b-4+b+1＞0，解得b＞1，
∴1＜b＜

3

2

，所以③错误；
∵0＜-

b

2a

＜1，而a＜0，
∴-b＞2a，即2a+b＜0，所以④正确．
故选C．

点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-

b

2a

；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．