Question

已知关于x的一元二次方程x²-2

2

x+m=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的最大整数值；
（2）在（1）的条下，方程的实数根是x₁，x₂，求代数式x₁²+x₂²-x₁x₂的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：代数综合题

分析：（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b²-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，进而得出m的最大整数值；
（2）根据（1）可知：m=1，继而可得一元二次方程为x²-2

2

x+1=0，根据根与系数的关系，可得x₁+x₂=2

2

，x₁x₂=1，再将x₁²+x₂²-x₁x₂变形为（x₁+x₂）²-3x₁x₂，则可求得答案．

解答：解：∵一元二次方程x²-2

2

x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=8-4m＞0，
解得m＜2，
故整数m的最大值为1；

（2）∵m=1，
∴此一元二次方程为：x²-2

2

x+1=0，
∴x₁+x₂=2

2

，x₁x₂=1，
∴x₁²+x₂²-x₁x₂=（x₁+x₂）²-3x₁x₂=8-3=5．

点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系与根的判别式．此题难度不大，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
掌握根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．