Question

（1）如图1，如果，已知CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分別为E、F，CE与BF相交于点D，且AD平分∠BAC．求证：CE=BF．
（2）如图2，AD是△ABC的角平分线，AE=AC，EF∥BC交AC于F点，求证：EC平分∠DEF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：（1）先证DE=DF，再证明△BDE≌△CDF，即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的三线合一性质得出AD垂直平分CE，根据线段垂直平分线的性质得出CD=CE，得出角相等，再由平行线证出内错角相等，即可得出结论．

解答： （1）证明：∵AD平分∠BAC，CE⊥AB，BF⊥AC，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在△BDE和△CDF中，

∠DEB=∠DFC amp;  DE=DF amp;  ∠BDE=∠CDF amp;

，
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴CE=BF；
（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，AE=AC，
∴AD垂直平分CE，
∴CD=CE，
∴∠DEC=∠DCE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC=∠DCE，
∴∠FEC=∠DEC，
∴EC平分∠DEF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义和性质；证明三角形全等和证明角相等是解决问题的关键．