Question

12．如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）当x为何值时，PQ∥BC；
（2）当$\frac{{S}_{△BCQ}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{3}$时，求$\frac{{S}_{△APQ}}{{S}_{△BPQ}}$的值；
（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出时间x的值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．
（2）我们先看当$\frac{{S}_{△BCQ}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{3}$时能得出什么条件，由于这两个三角形在AC边上的高相等，那么他们的底边的比就应该是面积比，由此可得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此时时间x正好是（1）的结果，那么此时PQ∥BC，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形APQ和ABC的面积比，然后再根据三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积-三角形APQ的面积-三角形BQC的面积来得出三角形BPQ和三角形ABC的面积比．
（3）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．

解答 解：（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30-3x
$\frac{4x}{20}$=$\frac{30-3x}{30}$
解得x=$\frac{10}{3}$；

（2）∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3
∴CQ：AC=1：3，CQ=10cm
∴时间用了$\frac{10}{3}$秒，AP=$\frac{40}{3}$cm，
∵由（1）知，此时PQ平行于BC
∴△APQ∽△ABC，相似比为$\frac{2}{3}$，
∴S_△APQ：S_△ABC=4：9
∴四边形PQCB与三角形ABC面积比为5：9，即S_{四边形PQCB}=$\frac{5}{9}$S_△ABC，
又∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3，即S_△BCQ=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
∴S_△BPQ=S_{四边形PQCB}-S_△BCQ═$\frac{5}{9}$S_△ABC-$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{2}{9}$S_△ABC，
∴S_△BPQ：S_△ABC=2：9=$\frac{2}{9}$

（3）假设两三角形可以相似．
情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，即有$\frac{3x}{4x}$=$\frac{20}{30-3x}$，
解得x=$\frac{10}{9}$，
经检验，x=$\frac{10}{9}$是原分式方程的解．
情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，即有$\frac{3x}{30-3x}$=$\frac{20}{4x}$，
解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．
综上所述，时间x的值是$\frac{10}{9}$或5．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．