Question

1．已知抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y₂=$\frac{3}{4}$x+n的图象上，AB=16，OC=8，当y₁随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 根据OC的长即可确定C的坐标，分成C在x轴正方向和负方向两种情况进行讨论，求得一次函数的解析式，则A的坐标即可求得，然后根据AB=16，且点A，B在原点O两侧，即可求得B的坐标，则对称轴即可求得，根据二次函数的性质即可求解．

解答 解：当C在x中下方时，C的坐标是（0，-8），代入数y₂=$\frac{3}{4}$x+n得n=-8．
则一次函数的解析式是y₂=$\frac{3}{4}$x-8，
令y=0，解得：x=$\frac{32}{3}$，
则A的坐标是（$\frac{32}{3}$，0），
∵AB=16，
∴OB=16-$\frac{32}{3}$=$\frac{16}{3}$，
即B的坐标是（-$\frac{16}{3}$，0）．对称轴是x=$\frac{1}{2}$×（$\frac{32}{3}$-$\frac{16}{3}$）=$\frac{8}{3}$．
此时开口向上，则当x＜$\frac{8}{3}$时，y₁随着x的增大而减小；
当当C在x中上方时，C的坐标是（0，8），代入数y₂=$\frac{3}{4}$x+n得n=8．
则一次函数的解析式是y₂=$\frac{3}{4}$x+8，
令y=0，则$\frac{3}{4}$x+8=0，解得：x=-$\frac{32}{3}$．
则同理，B的坐标是（$\frac{16}{3}$，0），
抛物线开口向下，对称轴是x=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{32}{3}$+$\frac{16}{3}$）=-$\frac{8}{3}$．
则当x≥-$\frac{8}{3}$时，y₁随着x的增大而减小．

点评 本题考查了二次函数与一次函数与x轴的交点，以及二次函数的性质，求得A的坐标是本题的关键．