Question

4．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）

车型	甲	乙	丙
汽车运载量（吨/辆）	5	8	10
汽车运费（元/辆）	400	500	600

（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出那种方案的运费最省？最省是多少元．

Answer 1

分析 （1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费8200元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可；
（2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为正整数，求出x，y的值，从而得出答案．
（3）根据三种方案得出运费解答即可．

解答 解：（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：$\left\{\begin{array}{l}5x+8y=120\\ 400x+500y=8200\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=10\end{array}\right.$
答：需甲车型8辆，需车型10辆；
（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：$\left\{\begin{array}{l}x+y+z=16\\ 5x+8y+10z=120\end{array}\right.$
消去z得5x+2y=40，x=$8-\frac{2}{5}y$，
因x，y是非负整数，且不大于16，得y=0，5，10，15，
由z是非负整数，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=0}\\{z=8}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=5}\\{z=5}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=10}\\{z=2}\end{array}\right.$，
有三种运送方案：
①甲车型8辆，丙车型8辆；
②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；
（3）三种方案的运费分别是：
①400×8+600×8=8000；
②400×6+500×5+600×5=7900；
③400×4+500×10+600×2=7800．
答：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆，最少运费是7800元．

点评 本题考查了三元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握．