Question

11．如图，在纸片△ABC中，点D、E、M、N都在边上，现将∠B，∠C分别沿MN折叠，使得点B、C与点A恰好重合，DE和MN交于点F．
（1）直接填空：若BC=10，则△AEN的周长为10．
（2）试探索∠B、∠C与∠F之间的数量关系；
（3）若∠BAC+∠EAN=150°，求∠EAN的度数．

Answer 1

分析 （1）由折叠可知：AE=BE，AN=CN，进一步代换求得△AEN的周长即BC的长；
（2）由折叠得出∠BDE=90°，∠CMN=90°，则得出∠FEN=90°-∠B，∠FNE=90°-∠C，利用三角形的内角和得出∠B、∠C与∠F之间的数量关系即可；
（3）由折叠得出∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，利用三角形的内角和得出∠EAN+180°=2∠BAC，和∠BAC+∠EAN=150°联立得出答案即可．

解答 解：（1）由折叠可知：
AE=BE，AN=CN，
△AEN的周长=AE+AN+NE=BE+CN+NE=BC=10；
（2）∵折叠，
∴∠BDE=90°，∠CMN=90°，
∴∠BED=90°-∠B，∠CNM=90°-∠C，
∴∠FEN=90°-∠B，∠FNE=90°-∠C，
∴90°-∠B+90°-∠C+∠F=180°，
即∠B+∠C=∠F；
（3）∵折叠，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠EAN+2（∠B+∠C）=180°，
∴∠EAN+2（180°-∠BAC）=180°，
∴∠EAN+180°=2∠BAC，
∴∠BAC+∠EAN=150°，
∴∠EAN=40°．

点评 此题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，利用折叠找出相等的角，结合三角形的内角和180°解决问题．