Question

12．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理，可得BC、AC的长，求出△ABC的面积，求出高AN，解直角三角形求出即可．

解答 解：
设小正方形的边长为1，
则由勾股定理得：BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵S_△ABC=S_△BDC-S_{正方形EAFD}-S_△AFC-S_△BEA=$\frac{1}{2}×4×3$-1×1-$\frac{1}{2}×1×2$-$\frac{1}{2}×3×1$=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}×BC×AN$=$\frac{5}{2}$，
∴AN=1，
∴sin∠ACB=$\frac{AN}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．